Функции и их свойства. Обратная функция. Композиция функций.
Соответствие f, которое каждому элементу х из множества Х сопоставляет один и только один элемент у из множества Y, называется функцией.
Множество Х называется областью определения функции f. Обозначение: D(f).
Множество всех элементов у из множества Y называется множеством значений функции f. Обозначение: E(f).
Способы задания функции: аналитический, графический, табличный.
Свойства функции:
1) Если f(x)=f(-x), то функция четная. Если f(x)=-f(x), то функция нечетная.
2) Если f(x1)<f(x2), то функция возрастающая. Если f(x1)>f(x2), то функция убывающая.
3) Функцию называют ограниченной, если существует такое положительное М, что для любых х выполняется |f(x)|≤M.
4) Функция называется периодической, если существует такое положительное Т, что f(x+T)=f(x).
Пусть задана функция y=f(x) с областью определения D и множеством значений E. Если каждому значению у из множества Е соответствует единственное значение х из множества D, то определена функция x=φ(y) с областью определения Е и множеством значений D. Такая функция x=φ(y) называется обратной к функции f(x).
x=φ(y)=f-1(y).
Пример: y=2x, x=½y
Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.
Пусть функция y=f(u) определена на D, а функция u=φ(x) на D1, причем для любого х из D1 соответствующее u=φ(x) принадлежит D. Тогда на множестве D1 определена функция u=f(φ(x)), которая называется сложной функцией от х (суперпозицией, композицией или функцией от функции).
Пример: y=sin2x – композиция двух функций y=sinu и u=2x.
При подготовке к экзамену ориентируйтесь на лекции преподавателя.
С уважением, Васильева Анна.